其中 \varepsilon_ = \sigma_* z_ 为收益率的残差 （residual), 即收益率除去均值后的部分（如均值为零可近似看作收益率本身). z_ 为一强白噪声过程，可取为标准高斯分布。
（三十七）期权的隐含波动率计算与图形
小粉桥反手王 于 2020-02-26 10:36:49 发布 11375 收藏 94
隐含波动率的计算
牛顿迭代法
波动率微笑和波动率偏斜
理论上根据平价公式，相同执行价格、到期日等条件下的看涨看跌期权计算出来的隐含波动率应该相同，否则存在套利机会。但是事实上由于交易成本、卖空限制等因素，看涨看跌期权的隐含波动率允许存在一定的偏差，在这个合理的偏差范围内，平价套利是无法实施的。
波动率微笑/偏斜现象的解释
关于波动率微笑的形成，主要是因为BS公式假定资产价格服从对数正态分布，而事实上该资产服从一个更加尖峰厚尾的分布，两边尾部的风险更高，因此隐含波动率更大；同时资产价格有跳跃现象（比如外汇期权的外汇受到央行管制），期权价值的不确定性增大，这也会导致两边变成肥尾。
波动率偏斜现象（左高右低）在股票期权中更为常见，因为股票价格也不是完全服从对数正态分布，而是一种尖峰、左肥尾、右瘦尾的分布（股票涨得少跌得多），因此左尾更加肥厚，表明隐含波动率更高。
还有一种较为可靠的解释是崩盘恐惧症（crashophobia）：低执行价格区域对应的虚值看跌期权按照BS模型定价很低，但是实际上没这么低（股灾不少见），导致市面上定价有溢价，因此高的价格形成了高的σ。
关于波动率，你想知道的都在这了
如果我们假设每天的回报独立同分布，那么T天回报的标准差是日回报标准差的 \sqrt 倍，这和“不确定性随着时间长度的平方根增长”这一法则是一致的，在计算波动率时，我们用的是交易的天数（252）而非日历天数，比如在计算周五结束交易到下周一结束时股票价格的标准差时，我们发现，这“三天的连续复利收益率”并没有比连续两个交易日之间的连续复利收益率高很多，因此有种解释是波动率本身是由交易本身决定的，而累积的是不同交易日的“交易的不确定性”，因此我们更关心的是实际的交易天数（或者说波动率在交易日要远高于非交易日，因此在波动率计算中非交易日可以忽略不计）。
波动率分为两种，一种是回望型波动率（backward looking），另外一种是前瞻波动率（forward looking）。前者是用历史数据算出来的波动率，后者是根据现在的期权价格，用B-S 期权定价模型反推出来的波动率。前者是已经发生了的历史价格的波动，我们算一个波动率。后者是我们对未来一个价格的波动率的预测，未必准确的。
2 回望型波动率-历史波动率
n+1 ——————观测次数；
S_ ———————第 i 个时间区间结束时变量的价格，i = 0,1,……，n；
\tau ——————— 事件区间的长度，单位是年
收益率 u_ (连续复利收益率)的计算公式为： u_ = ln\left( \frac
u_ 的标准差s通常估计为：
日标准收益率的标准差为：
\sigma = s\sqrt = 0.193 公式-3）
因为我们只有20个样本，所以波动率的每年标准差可估计为
\frac> 公式-4）
总结一下，先用公式-1的方法来计算每天的收益率，然后用公式-2来估计一个日收益率的标准差，接着用公式-3来计算波动率，然后用公式-4 来估计实际的年化波动率。这个收益率是用已经发生了的历史价格来推算一下波动率的，也就是回望型波动率，对于未来还没有发生的价格波动，没人知道具体的价格走向，但我们根据该资产对应的期权价格，与B-S 期权定价模型可以推算出市场上预计该资产的波动率。
前面所讨论的方法都默认过去各个时间点上的收益率对当前波动率的权重也就是贡献相同（equally weighted)，在实际中这往往不太现实，由于供求关系，市场环境，经济周期以及各种基本和技术层面的因素，波动率在不同时间区间往往会发生变化(regime switch), 很难想象1年前和1天前的收益率对估计波动率会有相同的影响。所以实际应用中往往需要对不同历史时刻的收益率施加不同的权重，这就有了一些更加复杂的波动率模型，如
1) EWMA (Exponetially Weighted Moving Aveage)
\sigma_^ = \lambda \sigma_^ + \left( 1-\lambda u_^\right)
其中 \lambda 一般取为0.94左右。可以证明这样的模型使得历史收益率对波动率的影响随着过去距离今天的时间差而指数递减。
2) GARCH (General Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model)
\sigma_^ = \omega + \sum_^\varepsilon_^ + \sum_^
\sigma_^>>
其中 \varepsilon_ = \sigma_* z_ 为收益率的残差 （residual), 即收益率除去均值后的部分（如均值为零可近似看作收益率本身). z_ 为一强白噪声过程，可取为标准高斯分布。
常用的模型为GARCH(1,1), 也就是p=q=1. 上面的EWMA是GARCH(1,1) 在 \beta_ = \lambda ,
\alpha_ = 1-\lambda \omega =0 时的特例。GARCH模型的一个优点在于它保证了当系数满足一定条件时波动率具有 mean reversion 的性质，也就是长期波动率存在一个稳定值。对GARCH(1,1), 这个值就是:
条件是 \alpha_ +\beta_
GARCH 模型有很多变种，比如有时需要考虑同样绝对值的正负收益对波动率的不同影响。 我们做风险分析工作中用到的就有EGARCH， IGARCH以及GJR-GARCH等。
3 隐含波动率
关于implied volatility。这个是通过BS公式反解出来的volatility，一般认为是对未来波动率的预期。有人说，implied volatility 的本质是一个错误的数字带入到错误的公式最终得到正确的价格。之后出现的 什么是隐含波动率百分位表？ volatility smile/skew 也就不足为奇了。1987年以前，stock 什么是隐含波动率百分位表？ option呈现volatility smile。87 股灾，也就是 LTCM 出事以后，volatility 就变成 skew 了。我们老师戏称其为中风病人的 smile。不过在外汇市场上仍然是 smile 为主。
值得注意的是，CBOE推出的 VIX 指数反映的就是 S&P500 指数的 implied volatility。VIX一开始是用 at-the-money 什么是隐含波动率百分位表？ option 的 implied volatility 计算，后来改成了一种 model free 的算法，即：
这里， F 是 forward price， Q_ 是以 K_ 为行权价的 out-of-the-money option， K_ 是低于 F 的最高行权价。这里用的记号是 Jim Gatheral: The Volatility Surface 一书中的记号。具体的推导可以参见此书，或者直接看 CBOE 2003 年的白皮书。
C_ = C^\left( P_ ,\sigma,\tau,什么是隐含波动率百分位表？ K,r\right)
而且，我们知道这个公式是波动率 \sigma 的单调递增函数，因此每一个期权价格都唯一的对应一个波动率，我们称它为隐含波动率。对于隐含波动率并没有明确的表达式，我们可以采用数值的方法来求。
值得一说的是，这个隐含波动率在理论上，看涨和看跌应该是一样的，但实际上会发生偏差，可见交易员并非能预言未来的神，市场也不能预测未来的价格，只是个参考而已。
第一，关于 historical volatility。在 Black Scholes 的框架下，也就是假设股票价格服从 GBM 的时候，volatility 可以用 quadratic 什么是隐含波动率百分位表？ variation 计算。如下式：
这里 X_ 是股票价格的对数， t_,t_,\cdot\cdot\cdot,t_ 是 \left[ 0,T\right] 区间的一个划分。注意，这个和标准差不一样，这个其实是对数收益率的二阶距。可以证明，用 quadratic variation 得到的估计量是一致估计。
第二，还有一种东西叫 local volatility，这个其实是一个作为 什么是隐含波动率百分位表？ stochastic volatility 的一种替代做法，就是认为 volatility 是一个关于时间和资产价格的确定性函数 \sigma\left(t,S_ \right) ,因此也叫 Deterministic Volatility Function (DVF)。这样做也就是为了避免 Heston Model 等 stochastic volatility 带来的计算复杂度。Dupire 给出了一种计算 local volatility 什么是隐含波动率百分位表？ 的方法：
这里的 C 是未折现的期权价格。右边的两个导数可以由市场上的期权价格计算出来。 不过因为行权价和到期日并不是连续变化的， C 只在一个离散点集上有定义，需要至少二次样条的插值才能行。由此可见，这种方法其实是不适定的，对数据的变化非常敏感。求解 local volatility 的适定算法可以由最优控制理论给出，这个我就不太懂了，姜礼尚：期权定价的数学模型和方法 什么是隐含波动率百分位表？ 一书的最后一章简介了这种算法。
如何寻找隐藏在波动率变化后面的原因？
然而，有时会有当波动率较低（或许它应该这样低），而这些大部分都与公司一些重大转变有关的情形。一个很明显的情形就是：拥有基础资产的公司收到了全现金的投标或是一个有利的报价。股票仍然会交易，假设报价与股价非常接近，但期权可能会失去隐含波动率，因为考虑到现金投标是可以直接完成而不会有什么问题的，股价的期望值不会上升或是下降。所以，跨式期权买法或是其他买入波动率策略在这种情况下不能使用艾美嘉（ iomega）就是这样一个极好的例子（参见图7.2）。当公司开始运作时，期权中隐含波动率通过了顶点。随着 iomega的成熟，隐含波动率下降到了第十个百分位上。然而，它并非属于这里，因此，买入跨式期权是不合适的。另一个可能证实隐含波动率降到历史水平以下的情况，是基础资产可能正在进行调整：它以前为波动股票，但现在由于这样那样的原因，公司内部正经历根本性的调整，股票也就不可能如以前预期那样迅速移动了。这可能在家公司收购另一家公司，尤其是当一个小的、更具波动性的公司收购了一家大的更小波动性的公司时，则新的公司会比以前具有更小的波动性。
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什么是隐含波动率百分位表？
计算公式非常简单：特定隐含波动率在一年中的交易天数除以252天。
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