科普：期权的定价模型有哪些？
Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点， 但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年， 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型， 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。 二项期权定价模型由考克斯（J.C.Cox）、罗斯（S.A.Ross）、鲁宾斯坦（M.Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。
1：Black-Scholes方程模型优缺点：
5.蒙特卡洛模型
①距离行权日还有T年（如果是n“天”，那么把n化成n/365年），②到期日标的资产价格为 S_T ，③标的资产行权价格为 K ，那么在行权日T时刻，期权的价格为：
Q quant如何避免垃圾进垃圾出？
\item 单说利率问题，原则上来说每个机构都需要根据自己的利率敞口篮子校准出自身的利率曲线。一般篮子里的基准物都是些流通性高的比如3m6mlibor， 1y2y5y10ytreasury， 但是前提都还是这是机构自身的利率敞口。 使用时可以根据校准出来的曲线可以再算一个ytm，也可以采用阶梯常数假设。 而具体采用什么利率的假设，要根据模型敞口而定，一般而言5年以内的产品一个合理的ytm足够，超过五年且高度路径依赖的产品也需要考虑随机利率敞口
\item 要解决”率“的问题还需要确定分红和拆借。这里的拆借一般指无法用利率和分红解释的其他carry cost。利率在三大率里是外部数据，因此分红和拆借只要确定了一个必定能校准另一个。当然最好两个都是确定的。分红包括现金分红和比利分红一般采用行业共识数据，这个国内国外市场都一样。而拆借率如果有Und成熟的期货市场可以用在期货上校准阶梯常数，如果没有可以根据市面期权报价用pcp原则反推。原则上能用期货校准是最好的，因为pcp的call和put把报价经常同strike下不能匹配，而且不是每个到期每个时间都有，数据容易缺失。某些实在无法确定拆借的场景也会考虑随机拆借率的假设
3.关于分布问题，无论是参数分布还是参数和非参混合分布（经典的比如lv）。回答关于期权定价里面什么分布(dynamic)才不算虚假分布一般只需要遵循一个原则：选择dynamic的最大原则就是当前产品对dynamic的参数有没有具有金融意义上的敞口。 比如如果是强路径依赖产品（个人定义schedule种类大于2个，频率高于monthly的产品为强路径依赖产品），在用const vol假设那就是虚假理论无疑，因为这类产品有terminal vol以外的敞口。
这个Q是Q Measure的缩写，即风险中性（概率）测度，是用来做无套利定价的，而不是用来做投资的。投资需要处理的是现实测度，即P测度，对应买方的P Quant。
在这个过程中，卖方关心的是没有套利空间，而不是与现实高度拟合。消除套利这件事情对于参数的错误没有那么敏感。因为无套利的基础是一价原则，就是说同样收益的东西，价格必须一样。你只要能够复制收益就好了，复制收益不代表你需要对收益能够准确测量。你只需要知道你卖出一个苹果以后再买回一个苹果你就复制了收益，并不需要知道苹果的成分是什么。
对应的，卖方在卖出衍生品之后，一般情况下都会通过各种方式把这个敞口完全对冲掉。比如说通过Dynamic Hedging，使用股票和某个市场的标准利率产品来复制期权的收益，从而把卖出的期权的风险敞口给消除掉。这个过程中，股票的波动率选择和到期价格（以及价格的分布）并不是那么重要，因为你犯的错两两抵消了：你期权对应的股票风险敞口已经被你用来对冲的股票的敞口给消除了，既然你是零敞口，这个股票的波动率到底是多少对你又有多少影响呢？真正的问题是你的Delta和Gamma等等Greeks能不能算得准，那些就是定价模型需要考虑的问题了。而一个Desk往往同时交易大量的衍生品，只要模型不出现系统性偏差（就像曾经的Gaussian Copula那样），各个contract产生的错误是可以被分散掉的。
所以一个Derivative Desk的trader其实主要的工作是每天根据quant算出来的greeks进行各种对冲，这个对冲的目的是消除敞口，从而使得desk能够大量地卖出各种衍生品来赚取流量费和服务费，而不是像买方一样通过价格变动，股息，及衍生品对赌成功等方式来赚钱。这点区别注定了Q Measure这套理论对于Q Quant来说是一套非常称手又实际可操作的理论。我想没人会用Stochastic 定价新奇期权的方法和系统 Calculus去炒股，但是用它来做定价和对冲是非常合适的。你能用传统的线性统计方法算非线性的greeks么？Machine Learning对于标准的衍生品合同（CME和CBOE上的）可能有用，但是投行交易的往往是场外衍生品，你手上的训练样本太少了。
“Garbage in, garbage out”本来就是用来形容对数据有极大依赖性的量化方法的，也就是P Quant的那一套功夫，用来思考Q Quant这种讲究理论完备性的方法论意义不大。08年后的金融监管确实杀掉了大块的衍生品市场和它对应的Q Quant群体，但是这套方法本身并没有很多人想的那么蠢。只不过大家往往以投资者（买方）的角度来考虑问题，而很少以服务者（卖方）的角度来考虑问题，对盈利模式判断有偏差，所以有很多困惑。
定价新奇期权的方法和系统
解方程\(S_ e x p \left [ \sigma \sqrt a+ \left(r- \frac< \sigma^> \right) 定价新奇期权的方法和系统 T \right ]-x=0\)
2.二叉树期权定价
在很小的一段时间内假设股价会向上运动到\(S_u\),也可能向下运动到\(S_d\)。
为了确定u，d，p，我们假设市场为风险中性，即股票预期收益率等于无风险利率，接着我们构造资产组合：
Portfolio：买\(\Delta\)单位的标的资产，卖出1单位的衍生品（期权）。
上涨情形：资产组合的价值为：
下跌情形：资产组合的价值为：
二叉树和BS公式定价的比较
3.定价新奇期权的方法和系统 蒙特卡洛模拟美式看跌期权定价——Regression-Based Methods
4.有限差分
B-S partial differential equation
\(V \left(S , 定价新奇期权的方法和系统 t \right)\)表示某股票期权的价格，我们对它做泰勒展开(直接省略了大于2阶的项)：
为了简化上式，用\(Z^\)的期望值代替它，\(E \left(Z^ \right)=V a r \left(Z \right)=1\)，进一步得到：
为了消除\(\Delta B\)，我们构建一个包含一单位衍生证券空头和\( \frac< \partial V>< \partial S>\)，单位标的证券多头的投资组合，令\(\Pi\)为该组合的价值，则：
将\(Delta S\)和\(\Delta V\)代入⑤式：
⑥式中不含\(\Delta B\)，因此在时间间隔\(\Delta t\)后该组合的价值必定无风险，其在\(\Delta t\)后的瞬时收益率一定等于无风险收益率，所以就有：\( 定价新奇期权的方法和系统 \Delta \Pi =r \Pi \Delta t\)，与⑥式联立整理后得到：
用差分估计参数
回想上面的网格图，以欧式看跌期权为例，算法如下：
1.初始化一些值，\(f_< \imath , 0>=K , f_< \imath , M>=0 , f_=m a x \left(K-j \Delta S , 0 \right)\)，还有\(a_\)，\(b_\)，\(c_\)。
业界常用的期权定价模型有哪些？
知乎用户
不过我个人有个问题，就是题主的意思是不是calibration是一劳永逸的. 我个人认为是需要进行调整. 对SABR而言, \rho (correlation) , \nu (vol of vol) 需要调整的频率比较低. 比如我设定每月调整一次的话,需要的计算量,应该相对于对于每天的数据都要二次差值运算,再算IV要小.
近年来，期权交易变得非常流行。 在这篇文章中，您将学习一种期权交易策略，可以用来以较低的价格购买自己喜欢的股票。期权是一种衍生工具。衍生物被誉为20世纪后期的金融革命。衍生产品类型为远期，期货，掉期和期权。衍生工具是从另一项基础资产中获取价值的工具。对于股票期权，其价格取决于标的股票。
在本文的第一篇中，我们将建立两个期权定价模型。第一个是著名的Black Scholes期权定价模型，第二个是Cox-Ross-Rubinstein期权定价模型。之后，我们还将讨论什么是期权，以及如何对隐含波动率进行建模。我们还将讨论为什么在实践中将这两种期权定价公式反向用于计算隐含波动率而不是期权价格。
我们将使用R进行分析。您应该已经安装了R和RStudio。我建议如果您快速实施非常快的程序，则应安装Microsoft R Open。Quantmod是提供技术分析的重要R包。
如上所述的期权从标的股票中驱动价值。问题是我们不知道期权合约是否会被行使。当我们尝试对股票期权合约定价时，这就带来了一定程度的复杂性。Black Scholes公式假定连续的随机过程，而Cox-Ross-Rubinstein模型假定离散的随机过程。因此，让我们从Black Scholes Options的定价公式开始。
Black Scholes股票期权定价公式
Black Scholes期权定价公式作了一些假设。首先是市场没有套利。这意味着不可能有价格差异。第二个假设是基础资产价格遵循布朗运动。第三个假设表明基础股票不支付任何股息。第四个假设是不涉及交易成本，并且可以以任何分数进行基础股票的买卖。最后一个假设是我们知道短期利率，并且该利率随时间是恒定的。现在，我们不需要详细讨论如何数学公式推导该公式。当我们知道用于计算股票期权价格的不同参数时，将使用R来计算股票期权价格。下面我们使用R来计算3个月到期的Apple AAPL股票看涨期权价格。苹果AAPL股票价格为130美元，股票期权合约行使价为140美元。
> library(fOptions) Loading required 定价新奇期权的方法和系统 package: timeDate Loading required package: timeSeries Loading required package: fBasics > GBSOption(TypeFlag 定价新奇期权的方法和系统 = "c", S = 130, X =140, Time = 1/4, r = 0.02, + sigma = 0.22, b = 0.02) Title: Black Scholes Option Valuation Call: GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X = 140, Time = 1/4, r = 0.02, b = 0.02, sigma = 0.22) Parameters: Value: TypeFlag c S 130 定价新奇期权的方法和系统 X 140 Time 0.25 r 0.02 b 0.02 sigma 0.22 Option Price: 2.382111 Description: Sun May 07 18:12:25 2017
首先我们加载fOptions库，c表示看涨期权.S是股票价格，即每股130美元。X是股票行使价，每股140美元。短期利率为2％。隐含波动率假设为22％。苹果股票的看涨期权价格为2.38美元。这就是它的工作方式。苹果目前的股价为每股130美元。我们购买看涨期权。我们认为苹果股票的价格将会上涨，因此我们购买了看涨期权为140美元的苹果股票3个月到期的看涨期权。如果价格超过140美元，我们可以每股140美元的价格购买AAPL股票。目前，苹果股票的交易价格为每股148美元。因此，您可以看到我们可以便宜地购买Apple股票。我们将以140美元的价格行使苹果股票看涨期权合约，然后以148美元的价格在市场上出售股票，从而实现每股8美元的利润。由于价格是2美元。每100股38股，我们获得了可观的利润。 假设我们的行使价为135美元。
Title: Black Scholes Option Valuation Call: GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X = 135, Time = 1/4, r = 0.02, b = 0.02, sigma = 0.22) Parameters: Value: TypeFlag c S 130 X 135 Time 0.25 r 0.02 b 0.02 sigma 0.定价新奇期权的方法和系统 定价新奇期权的方法和系统 22 Option Price: 3.88815 Description: Sun May 07 18:22:29 2017
在这种情况下，股票期权的价格提高到了$ 3.88。现在，如上所述，我们不需要知道如何得出Black Scholes期权定价公式。我们只需要在公式中插入不同的参数，例如看涨/卖出期权，股票价格，执行价格，短期利率，隐含波动率等。现在的问题是我们没有任何方法可以计算隐含波动率。我们只是假设了隐含波动率公式。如果您不知道什么是不同的参数，请使用以下公式。
我们还可以计算看跌期权的价格。使用R时也非常容易。以下是看跌期权价格的计算。我们在公式中将c更改为p。苹果股价为130美元。看跌期权的行使价为135美元。有效期为3个月。短期利率为2％。隐含波动率为22％。
> GBSOption(TypeFlag = "p", S = 130, X =135, Time = 1/4, r = 0.02, sigma 定价新奇期权的方法和系统 + = 0.22, b = 0.02)@price [1] 8.214834
现在，如上所述，布莱克斯科尔斯期权定价公式很大程度上取决于隐含波动率。隐含波动率是我们所不知道的。因此，实际上我们不能使用此布莱克斯科尔斯股票期权价格公式。在大多数情况下，我们使用相反的公式。我们在公式中插入股票期权价格并计算隐含波动率。我们可以使用GARCH模型来计算波动率。
Cox-Ross-Rubinstein股票期权定价公式
Cox-Ross-Rubinstein公式也称为CRR公式，与Black Scholes股票期权定价公式不同。CRR公式中的基本假设是标的股票价格遵循离散的二项分布。这意味着股票价格在每个时期要么上升一定量，要么下降一定量。二叉树正在重组。这意味着在两个时期内，价格可以先涨后跌，或者在相同的最终价格下涨跌。以下是使用与Black Scholes公式相同的行使价，隐含波动率和短期利率来计算Apple股票期权价格。
> [1] 4.033903 > [1] 8.360588
您可以看到使用Cox-Ross-Rubinstein公式的期权价格与Black Scholes公式相似但不相同，现在无需对CRR公式进行复杂的数学推导。我们还可以绘制上述看涨期权公式以及看跌期权公式二项式树3个周期。以下是看涨期权二项式树的代码。
通过将ce更改为pe，我们还可以绘制看跌期权二叉树。 以下是看涨期权二叉树图。
现在您看到了两个公式之间的期权价格差异。价格差异不大。Black Scholes计算的看涨期权价格为3.88美元，而Cox-Ross-Rubinstein公式计算的看涨期权价格为4.03美元。差别不是很大，但确实存在。这是由于两个公式的数学推导不同。在Black Scholes公式中，我们假设一个连续的随机公式，而在Cox-Ross-Rubinstein公式中，我们假设一个离散的二项式公式。W可以通过减少Cox-Ross-Rubinstein公式中的时间步长来减少价格差异。
如何计算期权？
希腊人衡量期权合约对不同市场因素的敏感性。例如，delta是对基础股票价格的敏感性。Gamma是对基础股票价格变化的敏感性。您可以将伽玛三角洲称为三角洲。Theta对时间敏感，而rho对无风险利率敏感。最后，vega是对隐含波动率的敏感度。用数学术语来说，所有希腊语都是偏导数，用于衡量某些参数的变化率。下面我们使用R计算 。
> delta gamma vega theta rho 0.4041424 0.0270888 25.1790377 -12.0517840 定价新奇期权的方法和系统 定价新奇期权的方法和系统 12.1625922
您可以看到R在计算 时非常快。跨距交易是重要的期权交易策略。我们通过同时购买看跌期权和看涨期权来构造一个跨步。以下是跨度的增量计算。
> plot(100:200, rowSums(straddles), type='l', + xlab='Price of the underlying (S)', ylab = 'Delta of straddle')